对一道数学名题巧解的思考
多年来，我一直担任高年级数学兴趣小组的辅导工作。在六年级数学兴趣小组活动辅导中，我经常讲一些数学家的故事，以此来激发学生学习数学的兴趣。有一次，我讲到了苏步青教授小时候做过的趣题。题目是这样的：
苏步青教授是我国著名的数学家。一次出国访问，他在电车上碰到了一位外国数学家，这位外国数学家出了一道题目让苏步青做：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。这只狗一共走了多少千米?
按常规思路：如果想分段算出狗跑的路程，再求出这些路段的和，将很难算出结果，因此一定要从整体考虑。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就是甲、乙两人的相遇时间。用狗跑的速度乘以它所跑的时间就可以算出狗跑的路程。
分步解答：
1．甲、乙两人多少小时相遇?
100÷(6+4)=10(小时)
2．狗跑的总路程是多少千米？
10×10=100(千米)
列综合算式为：10×【100÷(6+4)】=100(千米)
然而，在数学兴趣小组辅导过程中，平时善于求异的王彬同学却想出了另一种思路：不必计算就可以知道狗一共跑了100千米。因为这道题的数据很凑巧，狗一小时跑10千米恰好等于甲、乙两人同时跑一小时的路程和。甲、乙两人同时相向而行，经过一段时间必然会相遇，这段时间内狗跑的路程应该就等于甲、乙两人的路程和。由于两地距离是100千米，因此甲、乙两人加起来的路程和必然就是100千米，所以狗也就跑了100千米。
面对王彬同学的解法，我陷入深深的思考，他的解法从某种程度上甚至超越了苏步青教授的解法。
在王彬同学的解法基础上，我按照他的解题思路进行了合理推广，将原题中“狗每小时行10千米”改为“狗每小时行20千米”。那么根据分析，甲、乙两人加起来的路程和必然就是100千米，而狗的速度是两人速度和的2倍，在相同时间内，狗跑的路程就是两人路程和的2倍，即100×2=200(千米)。假设将原题中“狗每小时行10千米”改为“狗每小时行8千米”，那么狗的速度是两人速度和的4/5，在相同时间内，狗跑的路程就是两人路程和的4/5，即100×4/5=80(千米)。
实践表明，这样教学不仅绝大多数学生都容易接受，而且十分有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
反思
1．教师要引导学生积极参与解题的探索过程，爱护和欣赏学生智慧的火花，让学生的智慧“闪光”。
在教学过程中，学生经常会出现一些非常规的解法，甚至是一些“怪算法”。《数学课程标准》明确指出：“由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的与富有个性的过程。”在课堂、作业、考试或课外辅导中，学生出现的一些特殊算法，教师有时一下子也很难作出正确的判断，但是对于这些意外的生成，教师不能武断地作出结论，而应该本着“教学相长”的思想，耐心地倾听学生的思考过程。因为我们知道，求异才会有创新。学生的“怪算法”很可能是一种巧解，或许还蕴藏着创新的思维、智慧的火花。应当看到，有些学生在学习过程中能够独立思考，敢于挑战权威，富有求异和创新精神。这时，就需要教师去点拨、引导、拓展和培养，从而使学生敢想、善思，使学生的智慧得以“闪光”。
2．教师要努力把“常规方法”教活一些，并能适当教学一些“奇思妙解”，以开阔学生的思维，培养思维的创造性。
在数学教学中，强调“常规思路或一般方法”的训练是有必要的，尤其是在技能的初级阶段，让学生以“一般方法”来训练巩固也是应该的。关键是让学生领悟到“一般方法”的实质，能合理而灵活地运用。在掌握“一般方法”的基础上，为了培养学生思维的灵活性，教师可以在教学过程中引导学生去发现一些新颖的解法，并适当教一些典型的“奇思妙想”，从“一般”中引出“巧解”，以此激发学生主动探索和发现的兴趣，从而提高学生求异与创新的能力。像上面的例子就表明，学生只要敢于并善于从不同的角度思考问题，就能够产生一些“奇思妙想”，解法往往是别开生面、深刻而富有创造性的。
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