逆向思维 巧妙求解
【案例】教学工作常规检查时，发现六年级数学作业中有这样一道题颇值得商榷。如下：
王老师骑摩托车从学校出发去风景区写生，去时每小时行40千米，回来时每小时行50千米，结果比去时少用半小时。风景区距学校多少千米?
大多数学生的解法不外乎以下三种：
解法一：0．5×50÷(50-40)×40=100(千米)。
解法二：用方程解。
解：设去时用了x小时。则回来时用了(x-0．5)小时，列方程得40x=50(x-0．5)，解得x=2．5，40×2．5=100(千米)。
解法三：去时与同来时的速度比是40：50=4：5，路程一定，速度与时间成反比，则去时与回来时的时间比是5：4。所以0．5÷(5－4)×5=2．5(小时)，则两地相距40×2．5=100(千米)。
其中，学生A是这样列式的：0．5÷(1/40-1/50)=100(千米)。批改时，教师在算式的旁边画了一个大大的红“×”，同时加注“40千米和50千米是速度，不是时间，这道题不是工程问题，如此列式毫无道理，结果纯属巧合”。
【策略分析】学生A的解法真的没有道理吗?让我们来分析一下：行程应用题中求路程，通常是用速度乘时间，上述大多数学生即是用这种思路。学生A的列式中，1/40和1/50究竟有没有实际意义呢?仔细思考可以发现，由“每小时行1/40(或1/50)千米”可得行1千米需要1/40(或1/50)小时，这样行1千米去时就比回来时多用1/40-1/50=1/200(小时)，又知行完全程去时比同来时多用半小时，则全程是0．5÷(1/40-1/50)=100(千米)。
多么巧妙的方法呀!学生A是把速度这个量进行逆向思维，将它转化为行一个单位长度所用的时间来解题，解答方法非常简洁。
【策略应用】例1：小明从家到学校上学，如果每分钟走60米，则要迟到6分钟。如果每分钟走80米，则可提前8分钟到校。小明家距学校多少米?
分析与解答：用两种速度各行1米所用的时间差为1/60-1/80=1/240(分钟)。从题中可知，用每分钟行60米和每分钟行80米这两种速度分别行完全程所用的时间差为6+8=14(分钟)，则小明家与学校间的路程是(6+8)÷1/60-1/80)=3360(米)。
例2：放学回到家，林林发现自己的数学课本被同桌的冬冬带回了家，林林打电话给冬冬，约好到他家去拿。放下电话，林林立即以每分钟80米的速度向冬冬家跑去，5分钟后，冬冬为了让林林尽快拿到书，决定带书去迎接林林，每分钟走100米，他们恰好在两家的中点处相遇。他们两家相距多远?
分析与解答：在两家中点处相遇，即两人相遇时所走的路程相等，都是全程的一半。冬冬比林林迟出发5分钟，也就是说冬冬和林林各走全程的一半所用的时间差为5分钟，而他们各走1米所用的时间差为1/801/100=1/400(分钟)，则全程的一半为5÷1/400=2000(米)。那么，两家间的路程是5÷(1/80-1/100)×2=4000(米)。
例3：小华从甲地到乙地，去时每小时走5千米，回来时每小时走7千米，来回共用2．4小时。甲、乙两地相距多少千米?
分析与解答：由题意可知，去时行1千米用1/5小时，回来时行1千米用1/7小时，则往返1千米共用的时间是1/5+1/7=12(小时)。而往返全程共用了2．4小时，要求全程，就是求2．4小时里有多少个12小时，即2．4÷(1/5+1/7)=7(千米)。
例4：加工一批零件，李师傅计划每小时加工50个，可提前6小时完成任务。实际每小时加工60个，结果提前10小时完成了任务。这批零件共有多少个?
分析与解答：这是一道与行程应用题具有相通性的工程问题。申题意可知，计划加工1个零件需要1/50小时，实际加工1个零件需要1/60小时。计划和实际各加工1个零件所用的时间差是1/50-1/60=1/300(小时)，而完成任务计划与实际所用的时间差是10-6=4(小时)，那么这批零件共有(10-6)÷(1/50-1/60)=1200(个)。
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